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2013届人教A版文科数学课时试题及解析(28)解三角形的应用

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课时作业(二十八) [第 28 讲 解三角形的应用] [时间:45 分钟 分值:100 分] 基础热身 1.以观测者的位置作为原点,东、南、西、北四个方向把*面分成四个象限,以正北 方向线为始边,按顺时针方向旋转 280° 到目标方向线,则目标方向线的位置在观测者的 ( ) A.北偏东 80° B.东偏北 80° C.北偏西 80° D.西偏北 80° 2.从 A 处望 B 处的仰角为 α,从 B 处望 A 处的俯角为 β,则 α 与 β 的关系为( ) A.α>β B.α=β C.α+β=90° D.α+β=120° 3.如图 K28-1,为了测量隧道口 AB 的长度,给定下列四组数据,计算时应当用数据 ( )

图 K28-1 A.α,a,b B.α,β,a C.a,b,γ D.α,β,b 4.如图 K28-2,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在 观察站 C 的北偏东 20° 方向上,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40° 方向上,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( )

图 K28-2 A.a km B. 3a km C. 2a km D.2a km 能力提升 5.某人向正东方向走 x km 后,向右转 150° ,然后朝新的方向走了 3 km,结果他离出 发点恰好为 3 km,则 x=( ) A. 3 B.2 3 C. 3或 2 3 D.3 6. 为测量某塔 AB 的高度, 在一幢与塔 AB 相距 20 m 的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30° , 测得塔基 B 的俯角为 45° ,那么塔 AB 的高度是( ) 3 3 A.20?1+ ? m B.20?1+ ? m 3? 2? ? ? 3 C.20(1+ 3) m D.20?1- ? m 3? ? 7.一船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75° 距灯塔 68 海里的 M 处,下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船的航行速度为( ) 17 6 A. 海里/小时 B.34 6海里/小时 2 17 2 C. 海里/小时 D.34 2海里/小时 2
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8.飞机从甲地以北偏西 15° 的方向飞行 1400 km 到达乙地,再从乙地以南偏东 75° 的方 向飞行 1400 km 到达丙地,那么丙地到甲地距离为( ) A.1400 km B.700 2 km C.700 3 km D.1400 2 km 9. 在△ABC 中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则 A 的取值范围是( ) π π ? ? ? A.? ?0,6? B.?6,π? π? ?π ? C.? ?0,3? D.?3,π? 10.某舰艇在 A 处测得遇险渔船在北偏东 45° 距离为 10 海里的 C 处,此时得知,该渔 船正沿南偏东 75° 方向,以每小时 9 海里的速度向一小岛靠*,舰艇时速 21 海里,则舰艇 到达渔船的最短时间是________.

图 K28-3 11.如图 K28-3,海岸线上有相距 5 海里的两座灯塔 A,B,灯塔 B 位于灯塔 A 的正 南方向.海上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔 A 的北偏西 75° 方向,与 A 相距 3 2海里的 D 处;乙船位于灯塔 B 的北偏西 60° 方向,与 B 相距 5 海里的 C 处.则甲、乙两艘轮船之间的 距离为________海里. π? 12.在△OAB 中,O 为坐标原点,A(1,cosθ),B(sinθ,1),θ∈? ?0,2?,则△OAB 的面 积达到最大值时,θ=________. π 13.△ABC 中,A= ,BC=3,则△ABC 的周长为________(用 B 表示). 3 14.(10 分) 如图 K28-4,某河段的两岸可视为*行,为了测量该河段的宽度,在河 的一边选取两点 A、B,观察对岸的点 C,测得∠CAB=75° ,∠CBA=45° ,且 AB=100 米. (1)求 sin75° ; (2)求该河段的宽度.

图 K28-4 15.(13 分)在△ABC 中,已知角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 a2+b2-c2= 3ab. (1)求角 C 的大小; 2π A (2)如果 0<A≤ ,m=2cos2 -sinB-1,求实数 m 的取值范围. 3 2 难点突破 16.(12 分)如图 K28-5,在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为 α,沿倾斜角为 β 的斜坡向上 asinαsin?γ-β? 走 a 米到 B, 在 B 处测得山顶 P 的仰角为 γ, 试借助图中的辅助线, 求证: 山高 h= . sin?γ-α?

图 K28-5
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课时作业(二十八) 【基础热身】 1.C [解析] 注意旋转的方向是顺时针方向,作出相应的图形,分析可得正确选项为 C. 2.B [解析] 如图所示,从 A 处望 B 处和从 B 处望 A 处视线均为 AB.而 α,β 同为 AB 与水*线所成的角,因此 α=β.

3.C [解析] 由 A 与 B 不可到达,故不易测量 α,β. 4. B [解析] 利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB=120° .在△ABC 中, 由余弦定理得 AB2 1 - ?=3a2,∴AB= 3a km. =AC2+BC2-2AC· BCcos120° =2a2-2a2×? ? 2? 【能力提升】 5.C [解析] 作出图形,由余弦定理有 x2+32-2×3×xcos30° =3,得 x2-3 3x+6= 0,解得 x= 3或 2 3. 6.A [解析] 解相关的两个直角三角形,△ACD 和△BCD(如图),可得正确选项为 A.

7.A

[解析] 如图所示,在△PMN 中,

PM MN = , sin45° sin120° 68× 3 ∴MN= =34 6, 2 MN 17 6 ∴v= = 海里/小时. 4 2 8.A [解析] 如图所示,△ABC 中,∠ABC=75° -15° =60° ,∵AB=BC=1400,∴ AC=1400,即丙地到甲地距离为 1400 km,故应选 A .

9.C [解析] 根据正弦定理有 a2≤b2+c2-bc,由余弦定理可知 a2=b2+c2-2bccosA, π 1 0, ?,选 C. 所以 b2+c2-2bccosA≤b2+c2-bc,即有 cosA≥ ,所以角 A 的取值范围为? 3 ? ? 2 2 10. 小时 [解析] 如图,设经过 t 小时渔船和舰艇同时到达 B 处,此即为舰艇到达渔船 3 的最短时间.在△ABC 中,C=45° +75° =120° ,CA=10,CB=9t,AB=21t. 2 5 由余弦定理(21t)2=102+(9t)2-2· 10· 9t· cos120° ,即 36t2-9t-10=0,解得 t= 或- 3 12 (舍).

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11. 13 [解析] 连接 AC,则 AC=5.在△ACD 中,AD=3 2,AC=5,∠DAC=45° , 由余弦定理得 CD= 13. π 1 1 1 1 1 1 1 12. [解析] S△OAB=1- sinθ- cosθ- (1-cosθ)(1-sinθ)= - sinθcosθ= - sin2θ, 2 2 2 2 2 2 2 4 π 当 2θ=π 即 θ= 时,面积最大. 2 π? AC 3 ? 13.6sin?B+6?+3 [解析] 在△ABC 中,由正弦定理得: = ,化简得 AC=2 3 sinB 3 2 sinB, 2π AB 3 -B?, = ,化简得 AB=2 3sin? 3 ? ? π 3 ? ? ? ? sin?π-?B+3?? 2 所以三角形的周长为: 2π ? 3+AC+AB=3+2 3sinB+2 3sin? ? 3 -B? π? =3+3 3sinB+3cosB=6sin? ?B+6?+3. 14.[解答] (1)sin75° =sin(30° +45° )=sin30° cos45° +cos30° sin45° 6+ 2 1 2 3 2 = × + × = . 2 2 2 2 4 (2)∵∠CAB=75° ,∠CBA=45° , ∴∠ACB=180° -∠CAB-∠CBA=60° , AB BC 由正弦定理得: = , sin∠ACB sin∠CAB ABsin75° ∴BC= , sin60°

如图过点 B 作 BD 垂直于对岸,垂足为 D,则 BD 的长就是该河段的宽度. BD 在 Rt△BDC 中,∵∠BCD=∠CBA=45° ,sin∠BCD= , BC 6+ 2 100× 4 ABsin75° 2 ∴BD=BCsin45° = · sin45° = × , sin60° 2 3 2 25?6+2 3? 50?3+ 3? = = (米). 3 3 a2+b2-c2 3 15.[解答] (1)由 a2+b2-c2= 3ab,得 = . 2ab 2 3 π 由余弦定理知 cosC= ,∴C= . 2 6 2A (2)∵m=2cos -sinB-1 2 1+cosA =2· -sin[π-(A+C)]-1 2
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π? =cosA-sin(A+C)=cosA-sin? ?A+6? π π 3 1 =cosA-sinAcos -cosAsin =cosA- sinA- cosA 6 6 2 2 1 3 π π π = cosA- sinA=cosAcos -sinAsin =cosA+ . 2 2 3 3 3 2π π π ∵0<A≤ ,∴ <A+ ≤π. 3 3 3 π 1? 1 ? ? ∴-1≤cos? ?A+3?<2,即 m 的取值范围是?-1,2?. 【难点突破】 16.[解答] 证明:在△ABP 中, ∠ABP=180° -γ+β, ∠BPA=180° -(α-β)-∠ABP =180° -(α-β)-(180° -γ+β) =γ-α. AP AB AP a 在△ABP 中,根据正弦定理, = ,得 = ,∴ sin∠ABP sin∠APB sin?180° -γ+β? sin?γ-α? a· sin?γ-β? asinαsin?γ-β? AP= ,所以山高为 h=APsinα= . sin?γ-α? sin?γ-α?

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