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最新届人教A版文科数学课时试题及解析(28)解三角形的应用

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年轻,那么短暂,那么迷茫。如果你不能给自己一张耀眼的文凭、一段荡气回肠的爱情,那么,你还可以 给自己一个九成九会遭到嘲笑的梦想。因为,总有一天,它会让你闪闪发光。
课时作业(二十八) [第 28 讲 解三角形的应用] [时间:45 分钟 分值:100 分]
基础热身 1.以观测者的位置作为原点,东、南、西、北四个方向把*面分成四个象限,以正北 方向线为始边,按顺时针方向旋转 280°到目标方向线,则目标方向线的位置在观测者的 () A.北偏东 80° B.东偏北 80° C.北偏西 80° D.西偏北 80° 2.从 A 处望 B 处的仰角为 α,从 B 处望 A 处的俯角为 β,则 α 与 β 的关系为( ) A.α>β B.α=β C.α+β=90° D.α+β=120° 3.如图 K28-1,为了测量隧道口 AB 的长度,给定下列四组数据,计算时应当用数据 ()
图 K28-1 A.α,a,b B.α,β,a C.a,b,γ D.α,β,b 4.如图 K28-2,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在 观察站 C 的北偏东 20°方向上,灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40°方向上,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( )

图 K28-2

A.a km B. 3a km

C. 2a km D.2a km 能力提升

5.某人向正东方向走 x km 后,向右转 150°,然后朝新的方向走了 3 km,结果他离出

发点恰好为 3 km,则 x=( )

A. 3 B.2 3

C. 3或 2 3 D.3 6.为测量某塔 AB 的高度,在一幢与塔 AB 相距 20 m 的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30°, 测得塔基 B 的俯角为 45°,那么塔 AB 的高度是( )

A.20??1+

3? 3?

m

B.20??1+

3? 2?

m

C.20(1+ 3) m

D.20??1-

3? 3?

m

7.一船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距灯塔 68 海里的

M 处,下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船的航行速度为( )

17 A. 2

6海里/小时

B.34 6海里/小时

17 C. 2

2海里/小时

D.34 2海里/小时

年轻,那么短暂,那么迷茫。如果你不能给自己一张耀眼的文凭、一段荡气回肠的爱情,那么,你还可以 给自己一个九成九会遭到嘲笑的梦想。因为,总有一天,它会让你闪闪发光。

年轻,那么短暂,那么迷茫。如果你不能给自己一张耀眼的文凭、一段荡气回肠的爱情,那么,你还可以 给自己一个九成九会遭到嘲笑的梦想。因为,总有一天,它会让你闪闪发光。
8.飞机从甲地以北偏西 15°的方向飞行 1400 km 到达乙地,再从乙地以南偏东 75°的方 向飞行 1400 km 到达丙地,那么丙地到甲地距离为( )
A.1400 km B.700 2 km C.700 3 km D.1400 2 km 9. 在△ABC 中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,则 A 的取值范围是( )
A.??0,π6?? B.??π6,π?? C.??0,3π?? D.??π3,π??
10.某舰艇在 A 处测得遇险渔船在北偏东 45°距离为 10 海里的 C 处,此时得知,该渔 船正沿南偏东 75°方向,以每小时 9 海里的速度向一小岛靠*,舰艇时速 21 海里,则舰艇 到达渔船的最短时间是________.
图 K28-3 11.如图 K28-3,海岸线上有相距 5 海里的两座灯塔 A,B,灯塔 B 位于灯塔 A 的正 南方向.海上停泊着两艘轮船,甲船位于灯塔 A 的北偏西 75°方向,与 A 相距 3 2海里的 D 处;乙船位于灯塔 B 的北偏西 60°方向,与 B 相距 5 海里的 C 处.则甲、乙两艘轮船之间的 距离为________海里.
12.在△OAB 中,O 为坐标原点,A(1,cosθ),B(sinθ,1),θ∈??0,2π??,则△OAB 的面
积达到最大值时,θ=________. 13.△ABC 中,A=π3,BC=3,则△ABC 的周长为________(用 B 表示). 14.(10 分) 如图 K28-4,某河段的两岸可视为*行,为了测量该河段的宽度,在河
的一边选取两点 A、B,观察对岸的点 C,测得∠CAB=75°,∠CBA=45°,且 AB=100 米. (1)求 sin75°; (2)求该河段的宽度.
图 K28-4 15.(13 分)在△ABC 中,已知角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 a2+b2-c2= 3ab. (1)求角 C 的大小; (2)如果 0<A≤23π,m=2cos2A2-sinB-1,求实数 m 的取值范围.
难点突破 16.(12 分)如图 K28-5,在山脚 A 测得山顶 P 的仰角为 α,沿倾斜角为 β 的斜坡向上 走 a 米到 B,在 B 处测得山顶 P 的仰角为 γ,试借助图中的辅助线,求证:山高 h=asisniαns?γin-?γα-? β?.
图 K28-5
年轻,那么短暂,那么迷茫。如果你不能给自己一张耀眼的文凭、一段荡气回肠的爱情,那么,你还可以 给自己一个九成九会遭到嘲笑的梦想。因为,总有一天,它会让你闪闪发光。

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课时作业(二十八) 【基础热身】 1.C [解析] 注意旋转的方向是顺时针方向,作出相应的图形,分析可得正确选项为 C. 2.B [解析] 如图所示,从 A 处望 B 处和从 B 处望 A 处视线均为 AB.而 α,β 同为 AB 与水*线所成的角,因此 α=β.
3.C [解析] 由 A 与 B 不可到达,故不易测量 α,β. 4.B [解析] 利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB=120°.在△ABC 中,由余弦定理得 AB2
=AC2+BC2-2AC·BCcos120°=2a2-2a2×??-12??=3a2,∴AB= 3a km.
【能力提升】 5.C [解析] 作出图形,由余弦定理有 x2+32-2×3×xcos30°=3,得 x2-3 3x+6= 0,解得 x= 3或 2 3. 6.A [解析] 解相关的两个直角三角形,△ACD 和△BCD(如图),可得正确选项为 A.
7.A [解析] 如图所示,在△PMN 中,
siPn4M5°=sinM1N20°, ∴MN=68× 3=34 6,
2 ∴v=M4N=172 6海里/小时. 8.A [解析] 如图所示,△ABC 中,∠ABC=75°-15°=60°,∵AB=BC=1400,∴ AC=1400,即丙地到甲地距离为 1400 km,故应选 A .
9.C [解析] 根据正弦定理有 a2≤b2+c2-bc,由余弦定理可知 a2=b2+c2-2bccosA,
所以 b2+c2-2bccosA≤b2+c2-bc,即有 cosA≥12,所以角 A 的取值范围为??0,3π??,选 C.
10.23小时 [解析] 如图,设经过 t 小时渔船和舰艇同时到达 B 处,此即为舰艇到达渔船 的最短时间.在△ABC 中,C=45°+75°=120°,CA=10,CB=9t,AB=21t.
由余弦定理(21t)2=102+(9t)2-2·10·9t·cos120°,即 36t2-9t-10=0,解得 t=23或-152 (舍).
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11. 13 [解析] 连接 AC,则 AC=5.在△ACD 中,AD=3 2,AC=5,∠DAC=45°,

由余弦定理得 CD= 13.

π 12.2

[解析] S△OAB=1-12sinθ-12cosθ-12(1-cosθ)(1-sinθ)=12-12sinθcosθ=12-14sin2θ,

当 2θ=π 即 θ=π2时,面积最大.

13.6sin??B+π6??+3

[解析]

在△ABC 中,由正弦定理得:sAinCB=

3 ,化简得 AC=2 3

3

2

sinB,

sin??π-A??BB+π3????=

3 ,化简得 3 2

AB=2

3sin??23π-B??,

所以三角形的周长为:

3+AC+AB=3+2 3sinB+2 3sin??23π-B??

=3+3 3sinB+3cosB=6sin??B+π6??+3.

14.[解答] (1)sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°

=12× 22+ 23× 22=

6+ 4

2 .

(2)∵∠CAB=75°,∠CBA=45°,

∴∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=60°,

由正弦定理得:sin∠ABACB=sin∠BCCAB,

∴BC=AsBisni6n07°5°,

如图过点 B 作 BD 垂直于对岸,垂足为 D,则 BD 的长就是该河段的宽度.

在 Rt△BDC 中,∵∠BCD=∠CBA=45°,sin∠BCD=BBDC,

∴BD=BCsin45°=AsBisni6n07°5°·sin45°=100×

6+ 4
3

2 × 22,

2

=25?6+3 2 3?=50?3+3 3?(米).

15.[解答] (1)由 a2+b2-c2=

3ab,得a2+2ba2b-c2=

3 2.

由余弦定理知 cosC= 23,∴C=π6.

(2)∵m=2cos2A2-sinB-1 =2·1+2cosA-sin[π-(A+C)]-1

年轻,那么短暂,那么迷茫。如果你不能给自己一张耀眼的文凭、一段荡气回肠的爱情,那么,你还可以 给自己一个九成九会遭到嘲笑的梦想。因为,总有一天,它会让你闪闪发光。

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=cosA-sin(A+C)=cosA-sin??A+π6??
=cosA-sinAcosπ6-cosAsinπ6=cosA- 23sinA-12cosA =12cosA- 23sinA=cosAcosπ3-sinAsinπ3=cosA+π3. ∵0<A≤23π,∴3π<A+π3≤π.
∴-1≤cos??A+π3??<12,即 m 的取值范围是??-1,12??.
【难点突破】 16.[解答] 证明:在△ABP 中, ∠ABP=180°-γ+β, ∠BPA=180°-(α-β)-∠ABP =180°-(α-β)-(180°-γ+β) =γ-α. 在△ABP 中,根据正弦定理,sin∠APABP=sin∠ABAPB,得sin?180A°P-γ+β?=sin?γa-α?,∴ AP=as·isnin?γ?-γ-αβ??,所以山高为 h=APsinα=asisniαns?γin-?γα-? β?.
年轻,那么短暂,那么迷茫。如果你不能给自己一张耀眼的文凭、一段荡气回肠的爱情,那么,你还可以 给自己一个九成九会遭到嘲笑的梦想。因为,总有一天,它会让你闪闪发光。




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